Question

【题目】已知线段AB，过点A的射线l⊥AB．在射线l上截取线段AC＝AB，连接BC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，B的对应点为D，N的对应点为E．

（1）当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，

①据题意在图中补全图形；

②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．

（2）连接EM．若AB＝4，从下列3个条件中选择1个：

①BP＝1，②PN＝1，③BN＝，

当条件　 （填入序号）满足时，一定有EM＝EA，并证明这个结论．

Answer 1

【答案】（1）①补全图形见解析；②证明见解析；（2）③．

【解析】

（1）①按照题中叙述画出图形即可；②如图，连接AE，AM．由题意可知△ABC是等腰直角三角形，由旋转可知△DPE≌△BPN，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个角是直角的四边形是矩形进行判断即可；
（2）当条件③BN=满足时，一定有EM=EA．先证明四边形FMDE是矩形再证明FE垂直平分AM，从而可得答案．

（1）①补全图形如下：

②证明：如图，连接AE，AM．

由题意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，则AM⊥BC，AM＝BC，

∵旋转，

∴△DPE≌△BPN，

∴DE＝BN＝BC，∠EDP＝∠PBD．

∴∠EDB＝∠EDP+∠PDB＝∠PBD+∠PDB＝90°，

∴ED⊥BC，

∴ED∥AM，且ED＝AM，

∴四边形AMDE为平行四边形．

又∵AM⊥BC，

∴∠AMD＝90°，

∴四边形AMDE是矩形．

（2）答：当条件③BN＝满足时，一定有EM＝EA．

证明：与（1）②同理，此时仍有△DPE≌△BPN，

∴DE＝BN＝，DE⊥BC，

取AM的中点F，连接FE，如图所示：

∵AB＝4，则AM＝4×sin45°＝2，

∴FM＝．

∴ED∥FM，且ED＝FM，

∴四边形FMDE是平行四边形，

又FM⊥BC，

∴∠FMD＝90°，

∴四边形FMDE是矩形．

∴FE⊥AM，且FA＝FM＝，

∴EA＝EM．

故答案为：③．