Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧），与y轴交于点C，且OB＝2OA，连接AC、BC．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）将线段AC绕点A旋转60°得到线段AC'，若点C'在抛物线的对称轴上，求出此时抛物线的函数解析式．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣4，0)，B(8，0)；（2）y＝x2﹣x﹣

【解析】

（1）设：OA=a，则OB=2a，抛物线的对称轴为x=2，则点A（-a，0）、B（2a，0），则x=2=求出a，即可求出A、B的坐标；

（2）由题意得：CM=2，CH=4，OC=-n=N=AH，HM=6=GC′，线段AC绕点A旋转60°得到线段AC'，则△ACC′为等边三角形，利用勾股定理，即可求解．

（1） 如图所示，设：OA＝a，则OB＝2a，抛物线的对称轴为x＝=2，

则点A（﹣a，0）、B（2a，0），

则x=2＝，

解得：a＝4

∴A（﹣4，0）、B（8，0）

(2)过点A作y轴的平行线，分别交过点C、 与x轴的平行线于点H、G,直线HC交对称轴于点M，则四边形 为矩形,

由题意得: CM=2, CH=4,OC=-n=N=AH, ,

线段AC绕点A旋转60°得到线段,则为等边三角形,

则 ，

在中， ,

则 ,

在中， , 即:

整理得: ,

解得:,

即:

∴y＝mx2﹣4mx-

把B（8，0）代入y＝mx2﹣4mx-代入解得：

故函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣