题目内容
【题目】已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A、B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.
(1)如图1,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC;
(2)如图2,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C、D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.
【答案】
(1)
证明:如图1中
,
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴∠A=∠ABC=45°,
∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到,α=90°,
∴CB与CE重合,
∴∠CBE=∠A=45°,
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,
∵BG=AD=BF,
∴∠BGF=∠BFG=45°,
∴∠A=∠BGF=45°,
∴GF∥AC.
(2)
解:①如图2中
,
∵CA=CE,CD=CF,
∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,
∵∠ACD=∠ECF,
∴∠ACE=∠CDF,
∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,
∴∠CAE=∠CDF,
∴A、D、M、C四点共圆,
∴∠CMF=∠CAD=45°,
∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°.
②如图3中
,
O是AC中点,连接OD、CM.
∵AD=DB,CA=CB,
∴CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
由①可知A、D、M、C四点共圆,
∴当α从90°变化到180°时,
点M在以AC为直径的⊙O上,运动路径是弧CD,
∵OA=OC,CD=DA,
∴DO⊥AC,
∴∠DOC=90°,
∴ 的长=
.
∴当α从90°变化到180°时,点M运动的路径长为 .
【解析】(1)欲证明GF∥AC,只要证明∠A=∠FGB即可解决问题.(2)①先证明A、D、M、C四点共圆,得到∠CMF=∠CAD=45°,即可解决问题.②利用①的结论可知,点M在以AC为直径的⊙O上,运动路径是弧CD,利用弧长公式即可解决问题.本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识,解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆,最后一个问题的关键,正确探究出点M的运动路径,记住弧长公式,属于中考压轴题.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识,掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.
