题目内容
【题目】如图1,点O为直线AB上一点,过O点作射线OC,使∠AOC:∠BOC=1:2,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置,使得ON落在射线OB上,此时三角板旋转的角度为度;
(2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置,使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系,并说明理由;
(3)在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中,若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转,当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时,求此时三角板绕点O的运动时间t的值.
【答案】
(1)90
(2)解:如图3,∠AOM﹣∠NOC=30°.
设∠AOC=α,由∠AOC:∠BOC=1:2可得
∠BOC=2α.
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴α+2α=180°.
解得 α=60°.
即∠AOC=60°.
∴∠AON+∠NOC=60°.①
∵∠MON=90°,
∴∠AOM+∠AON=90°.②
由②﹣①,得∠AOM﹣∠NOC=30°;
(3)(ⅰ)如图4,当直角边ON在∠AOC外部时,
由OD平分∠AOC,可得∠BON=30°.
因此三角板绕点O逆时针旋转60°.
此时三角板的运动时间为:
t=60°÷15°=4(秒).
(ⅱ)如图5,当直角边ON在∠AOC内部时,
由ON平分∠AOC,可得∠CON=30°.
因此三角板绕点O逆时针旋转240°.
此时三角板的运动时间为:
t=240°÷15°=16(秒).
【解析】解:(1)由旋转的性质知,旋转角∠MON=90°.
故答案是:90;
【考点精析】通过灵活运用角的运算和旋转的性质,掌握角之间可以进行加减运算;一个角可以用其他角的和或差来表示;①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了即可以解答此题.