题目内容
【题目】已知直线MN是线段BC的垂直平分线,垂足为O,P为射线OM上的一点,连接BP,PC.将线段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PQ(PQ与PC不重合),旋转角为α(0°<α<180°)直线CQ交MN与点D.
(1)如图1,当α=30°,且点P与点O重合时,∠CDM的度数是 ;
(2)如图2,且点P与点O不重合.
①当α=120°时,求∠CDM的度数;
②用含α的代数式表示∠CDM的度数.
【答案】(1)75°;(2)①∠CDM=30°,②.
【解析】
(1)由中垂线的性质就可以得出BO=CO,由旋转的性质可以出PQ=OB=PC,由三角形外角与内角的关系就可以得出∠C=15°,在△PDC中可以求出∠CDM的结论;
(2)①由轴对称的性质可以得出△PBD≌△PCD,就有∠PBD=∠PCD,∠PDB=∠PDC,就可以得出∠PQC+∠PQD=180°,得出∠PQD+∠PBD=180°,由四边形的内角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°,进而就可以得出∠CDM的值.
②由轴对称的性质可以得出△PBD≌△PCD,就有∠PBD=∠PCD,∠PDB=∠PDC,就可以得出∠PQC+∠PQD=180°,得出∠PQD+∠PBD=180°,由四边形的内角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°,进而就可以得出∠CDM=(180°-a)=90°-
.
(1)∵直线MN是线段BC的垂直平分线,
∴BO=CO,∠COD=90°.
∵段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PQ
∴PB=PC=PQ.
∴∠Q=∠C.
∵∠Q+∠C=∠BPQ=30°,
∴∠C=15°,
∴∠C+∠CDM=90°,
∴∠CDM=75°;
(2)如图2,
∵直线MN是线段BC的垂直平分线,
∴PB=PC,BD=CD.
∵段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PQ
∴PB=PC=PQ.
∴∠PQC=PCQ.
在△PBD和△PCD中,
,
∴△PBD≌△PCD(SSS),
∴∠PBD=∠PCD,∠PDB=∠PDC,
∴∠PBD=∠PCD=∠PQC.
∵∠PQC+∠PQD=180°,
∴∠PQD+∠PBD=180°.
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ=360°,
∴∠BPQ+∠BDC=180°.
∵∠BPQ=120°,
∴∠BDC=60°.
∵∠PDB=∠PDC,
∴∠PDC=30°.
即∠CDM=30°;
(3)∵直线MN是线段BC的垂直平分线,
∴PB=PC,BD=CD.
∵段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PQ
∴PB=PC=PQ.
∴∠PQC=PCQ.
在△PBD和△PCD中,
,
∴△PBD≌△PCD(SSS),
∴∠PBD=∠PCD,∠PDB=∠PDC,
∴∠PBD=∠PCD=∠PQC.
∵∠PQC+∠PQD=180°,
∴∠PQD+∠PBD=180°.
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ=360°,
∴∠BPQ+∠BDC=180°.
∵∠BPQ=a,
∴∠BDC=180°﹣a.
∵∠PDB=∠PDC,
∴∠PDC=90°﹣,
即∠CDM=90°﹣.
