题目内容
【题目】已知直线MN是线段BC的垂直平分线，垂足为O，P为射线OM上的一点，连接BP，PC．将线段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ（PQ与PC不重合），旋转角为α（0°＜α＜180°）直线CQ交MN与点D．
（1）如图1，当α＝30°，且点P与点O重合时，∠CDM的度数是 ；
（2）如图2，且点P与点O不重合．
①当α＝120°时，求∠CDM的度数；
②用含α的代数式表示∠CDM的度数．
【答案】（1）75°；（2）①∠CDM＝30°，②
.
【解析】
（1）由中垂线的性质就可以得出BO=CO，由旋转的性质可以出PQ=OB=PC，由三角形外角与内角的关系就可以得出∠C=15°，在△PDC中可以求出∠CDM的结论；
（2）①由轴对称的性质可以得出△PBD≌△PCD，就有∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四边形的内角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，进而就可以得出∠CDM的值．
②由轴对称的性质可以得出△PBD≌△PCD，就有∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四边形的内角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，进而就可以得出∠CDM=
（180°-a）=90°-
．
（1）∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BO＝CO，∠COD＝90°．
∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ
∴PB＝PC＝PQ．
∴∠Q＝∠C．
∵∠Q+∠C＝∠BPQ＝30°，
∴∠C＝15°，
∴∠C+∠CDM＝90°，
∴∠CDM＝75°；
（2）如图2，
∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，BD＝CD．
∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ
∴PB＝PC＝PQ．
∴∠PQC＝PCQ．
在△PBD和△PCD中，
，
∴△PBD≌△PCD（SSS），
∴∠PBD＝∠PCD，∠PDB＝∠PDC，
∴∠PBD＝∠PCD＝∠PQC．
∵∠PQC+∠PQD＝180°，
∴∠PQD+∠PBD＝180°．
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ＝360°，
∴∠BPQ+∠BDC＝180°．
∵∠BPQ＝120°，
∴∠BDC＝60°．
∵∠PDB＝∠PDC，
∴∠PDC＝30°．
即∠CDM＝30°；
（3）∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，BD＝CD．
∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ
∴PB＝PC＝PQ．
∴∠PQC＝PCQ．
在△PBD和△PCD中，
，
∴△PBD≌△PCD（SSS），
∴∠PBD＝∠PCD，∠PDB＝∠PDC，
∴∠PBD＝∠PCD＝∠PQC．
∵∠PQC+∠PQD＝180°，
∴∠PQD+∠PBD＝180°．
∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ＝360°，
∴∠BPQ+∠BDC＝180°．
∵∠BPQ＝a，
∴∠BDC＝180°﹣a．
∵∠PDB＝∠PDC，
∴∠PDC＝90°﹣，
即∠CDM＝90°﹣．
