题目内容
【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;
(2)当AM的值为 时,四边形AMDN是矩形,请你把猜想出的AM值作为已知条件,说明四边形AMDN是矩形的理由.
【答案】(1)见解析(2)当AM=2时,说明四边形是矩形
【解析】
(1)根据菱形的性质可得AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等可得∠NDE=∠MAE,根据对顶角相等可得∠DEN=∠AEM,根据中点的定义求出DE=AE,然后利用“角边角”证明△NDE和△MAE全等,根据全等三角形对应边相等得到ND=AM,然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明;
(2)首先证明△AEM是等边三角形,进而得到AE=ED=EM,利用三角形一边上的中线等于斜边一半判断出△AMD是直角三角形,进而得出四边形AMDN是矩形.
(1)∵点E是AD边的中点,
∴AE=ED,
∵AB∥CD,
∴∠NDE=∠MAE,
在△NDE和△MAE中,
,
∴△NDE≌△MAE(ASA),
∴ND=AM,
∵ND∥AM,
∴四边形AMDN是平行四边形;
(2)当AM=2时,说明四边形是矩形.
∵E是AD的中点,
∴AE=2,
∵AE=AM,∠EAM=60°,
∴△AME是等边三角形,
∴AE=EM,
∴AE=ED=EM,
∴∠AMD=90°,
∵四边形ABCD是菱形,
故当AM=2时,四边形AMDN是矩形.

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