题目内容

用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图①②③中的一种)

设竖档AB＝x米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行)

(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？

(2)在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

答案：
解析：

　　解答：解：(1)AD＝(12－3x)÷3＝4－x，

　　列方程：x(4－x)＝3，

　　x2－4x＋3＝0，

　　∴x1＝1，x2＝3，

　　答：当x＝1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；

　　(2)AD＝(12－4x)÷3＝4－x，

　　S＝x(4－x)，

　　＝－x2＋4x，

　　当x＝－＝时，

　　S最大＝＝3，

　　答：当x＝时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；

　　(3)AD＝(a－nx)÷3＝－x，

　　S＝x(－x)，

　　＝－x2＋x，

　　当x＝－＝时

　　S最大＝＝．

　　答：当x＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是平方米．

　　分析：(1)先用含x的代数式(12－3x)÷3＝4－x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式列方程，求出x的值．

　　(2)用含x的代数式(12－4x)÷3＝4－x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．

　　(3)用含x的代数式(a－nx)÷3＝－x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．

　　点评：本题考查的是二次函数的应用，(1)根据面积公式列方程，求出x的值．(2)根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值．(3)根据面积公式得到字母系数的二次函数，然后求出函数的最大值．


练习册系列答案
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用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）
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设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（2012•河北区三模）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，材料本身面积忽略不计），设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：

（Ⅰ）在图①中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为
4-x
4-x
，若矩形框架ABCD的面积为3平方米，则可列方程为
x（4-x）=3
x（4-x）=3
．
（Ⅱ）在图②中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为
4-
4
3
x
4-
4
3
x
，若矩形框架ABCD的面积为S，请写出S与x的函数关系式
S=4x-
4
3
x2
S=4x-
4
3
x2
．
（Ⅲ）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，写出矩形框架ABCD的面积S与x的函数关系式
a-nx
3
x
a-nx
3
x
；当x为
a
2n
a
2n
时，S有最大面积等于
a2
12n
a2
12n
．
（2013•莆田质检）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图1，2中的一种）．

设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行）
（Ⅰ）在图1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（Ⅱ）在图2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（2012•河东区一模）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图）现已知不锈钢材料总长度为12米，请你帮助分析，当竖档为多少米时，矩形框架的面积最大？最大面积是多少平方米？（题中的不锈钢材料总长度指图中所有线段的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答．也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．
（I）分析：
设竖档为x米，矩形框架的面积为y平方米．
根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：
AB的长（米） AD的长（米） 矩形框架ABCD的面积（平方米）
x y
（Ⅱ） （由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）
用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，材料本身面积忽略不计），设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：

（Ⅰ）在图①中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为______，若矩形框架ABCD的面积为3平方米，则可列方程为______．
（Ⅱ）在图②中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为______，若矩形框架ABCD的面积为S，请写出S与x的函数关系式______．
（Ⅲ）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，写出矩形框架ABCD的面积S与x的函数关系式______；当x为______时，S有最大面积等于______．

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