题目内容
【题目】如图,已知直线l:y1=kx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点,与双曲线y2=(a≠0,x>0)分别交于D、E两点.若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4)
(1) 分别直接写出直线l与双曲线的解析式:
(2) 若将直线l向下平移m(m>0)个单位,当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点
(3) 当y1<y2时,直接写出x的取值范围
【答案】(1)反比例函数解析式为y=(x>0);直线l的解析式为y=-x+5;(2)当m=1时,直线l与双曲线有且只有一个交点;(3)当x<1或x>4时,y1<y2.
【解析】
试题分析:(1)①运用待定系数法可分别得到直线l与双曲线的解析式;
②直线l向下平移m(m>0)个单位得到y=-x+5-m,根据题意得方程组只有一组解时,化为关于x的方程得x2+(m-5)x+4=0,则△=(m-5)2-4×4=0,解得m1=1,m2=9,当m=9时,公共点不在第一象限,所以m=1;
(3)解方程组即可求解.
试题解析:(1)①把D(4,1)代入y=得a=1×4=4,
所以反比例函数解析式为y=(x>0);
设直线l的解析式为y=kx+t,
把D(4,1),E(1,4)代入得,
解得.
所以直线l的解析式为y=-x+5;
②直线l向下平移m(m>0)个单位得到y=-x+5-m,
当方程组只有一组解时,直线l与双曲线有且只有一个交点,
化为关于x的方程得x2+(m-5)x+4=0,
△=(m-5)2-4×4=0,解得m1=1,m2=9,
而m=9时,解得x=-2,故舍去,
所以当m=1时,直线l与双曲线有且只有一个交点;
(3)解方程组得:x1=1,x2=4
故当x<1或x>4时,y1<y2.
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