Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF.

（1）求证：四边形ACEF是矩形；

（2）求四边形ACEF的周长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2+2

【解析】

（1）由DE=AD，DF=CD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ACEF是平行四边形，继而由四边形ABCD为菱形，可以推导得到AE=CF，问题即可得到证明；

（2） 由三角形ADC为等边三角形，得到AC=AB=1，利用矩形的性质可得∠ACE=90，继而可得∠AEC=30，根据30度角的直角三角形的性质可得AE=2AC=2，继而根据勾股定理求得CE长，根据矩形的周长公式即可得答案.

(1)∵DE=AD，DF=CD，

∴四边形ACEF是平行四边形，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD=CD，

∴DE=AD=DF=CD ，

∴AE=CF，

∴四边形ACEF是矩形，

(2)∵菱形ABCD，

∴∠ADC=∠B=60，AD=AB=1，

∵AD=CD，

∴△ACD是等边三角形，

∴AC=AD=1，∠CAD=60，

∵矩形ACEF，

∴∠ACE=90，

∴∠AEC=30，

∴AE=2AC=2，CE= ，

∴四边形ACEF的周长为：2(AC+CE) =2+2.