题目内容

如图，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=6cm，AC=8cm，动点P从C点出发以1cm/秒的速度沿CA，AB运动到B．
（1）设P点运动的路程为xcm，△BCP的面积为ycm²，求y与x之间的函数关系式．
（2）从C点出发几秒钟时，△BCP的面积为△ABC的 $数学公式$ ？

解：（1）①P点在AC上，
∴PC=x，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，
∵△BCP的面积为ycm²，
∴y=BC•x• $\text{[math]}$ ，即y=3x；
②P点在AB上，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，

∴AB=10，
∴BP=10-x，
作CD⊥AB，
∴△ABC∽△CBD，
∴AC：CD=AB：BC，
∴CD= $\text{[math]}$ ，
∵△BCP的面积为ycm²，
∴y=（10-x）• $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ．

（2）∵BC=6cm，AC=8cm，
∴△ABC的面积=24cm²，
∴△BCP的面积为：24• $\text{[math]}$ =6，
①P点在AB上，
∴6= $\text{[math]}$ ，
∴x=7.5cm，
∵点P从C点出发的速度为1cm/秒，
∴7.5cm÷1cm/秒=7.5秒，
∴从C点出发7.5秒钟时，△BCP的面积为△ABC的 $\text{[math]}$ ．
②P点在AC上，
∴6=3x，
∴x=2，
∵点P从C点出发的速度为1cm/秒，
∴2cm÷1cm/秒=2秒，
∴从C点出发2秒钟时，△BCP的面积为△ABC的 $\text{[math]}$ ．
答：从C点出发2秒或7.5秒钟时，△BCP的面积为△ABC的 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先根据情况进行讨论，第一种情况：P点在AC上，那么y=BC•x• $\text{[math]}$ ，即y=3x；第二种情况：P点在AB上，那么根据勾股定理求出AB=10，然后作出BP的高，通过求证三角形相似，求出高的值，即可推出函数式．
（2）首先求出△ABC的面积，即可确定△BCP的面积，然后根据（1）的结论，即可推出路程x的值，再根据P点的运动速度，便可求出运动时间．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理，关键在于分情况进行讨论，求出y关于x的解析式．