题目内容
如图:在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC于F.
求证:四边形AEFG是菱形.
求证:四边形AEFG是菱形.
证明:证法一:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠B=∠CAD,
∵CE平分∠ACB,EF⊥BC,∠BAC=90°(EA⊥CA),
∴AE=EF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵CE=CE,
∴由勾股定理得:AC=CF,
∵△ACG和△FCG中
,
∴△ACG≌△FCG,
∴∠CAD=∠CFG,
∵∠B=∠CAD,
∴∠B=∠CFG,
∴GF∥AB,
∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴AD∥EF,
即AG∥EF,AE∥GF,
∴四边形AEFG是平行四边形,
∵AE=EF,
∴平行四边形AEFG是菱形.
证法二:∵AD⊥BC,∠CAB=90°,EF⊥BC,CE平分∠ACB,
∴AD∥EF,∠4=∠5,AE=EF,
∵∠1=180°-90°-∠4,∠2=180°-90°-∠5,
∴∠1=∠2,
∵AD∥EF,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴AG=AE,
∵AE=EF,
∴AG=EF,
∵AG∥EF,
∴四边形AGFE是平行四边形,
∵AE=EF,
∴平行四边形AGFE是菱形.
∴∠ADB=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠B=∠CAD,
∵CE平分∠ACB,EF⊥BC,∠BAC=90°(EA⊥CA),
∴AE=EF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵CE=CE,
∴由勾股定理得:AC=CF,
∵△ACG和△FCG中
|
∴△ACG≌△FCG,
∴∠CAD=∠CFG,
∵∠B=∠CAD,
∴∠B=∠CFG,
∴GF∥AB,
∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴AD∥EF,
即AG∥EF,AE∥GF,
∴四边形AEFG是平行四边形,
∵AE=EF,
∴平行四边形AEFG是菱形.
证法二:∵AD⊥BC,∠CAB=90°,EF⊥BC,CE平分∠ACB,
∴AD∥EF,∠4=∠5,AE=EF,
∵∠1=180°-90°-∠4,∠2=180°-90°-∠5,
∴∠1=∠2,
∵AD∥EF,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴AG=AE,
∵AE=EF,
∴AG=EF,
∵AG∥EF,
∴四边形AGFE是平行四边形,
∵AE=EF,
∴平行四边形AGFE是菱形.
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