题目内容
已知,如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(3,0),点O为坐标原点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得OF+DF最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得OF+DF最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标.
考点:二次函数综合题
专题:综合题
分析:(1)将点A、C的坐标代入可得出a、c的值,继而确定抛物线解析式;
(2)作O′使O′与O关于直线AC对称,连接O'D,O'D交AC于F,过点F且平行于x的直线l与抛物线交于点P,点P为所求;
(3)设Q(m,0),且-1≤m≤3,由QE∥AC,可得△BEQ∽△BCA,利用对应边成比例可得出EH的长,由S=S△BQC-S△BEQ,可得S关于m的表达式,利用配方法求最值即可.
(2)作O′使O′与O关于直线AC对称,连接O'D,O'D交AC于F,过点F且平行于x的直线l与抛物线交于点P,点P为所求;
(3)设Q(m,0),且-1≤m≤3,由QE∥AC,可得△BEQ∽△BCA,利用对应边成比例可得出EH的长,由S=S△BQC-S△BEQ,可得S关于m的表达式,利用配方法求最值即可.
解答:解:(1)将点A(3,0),点C(0,3)代入抛物线解析式:
,
解得:
,
故抛物线解析式:y=-x2+2x+3.
(2)存在.
如图所示:
作O′使O′与O关于直线AC对称,连接O'D,O'D交AC于F,过点F且平行于x的直线l与抛物线交于点P,点P为所求.
易求O′(3,3),设直线O′D的解析式:y=k1x+b,
则可得:
,
解得:
,
故直线O'D的解析式为:y=3x-6
设直线AC解析式:y=k2x+3,
将点A(3,0)代入可得:0=3k2+3,
解得:k2=-1,
故直线AC的解析式为:y=-x+3,
由
得:
,即F(
,
),
∴直线l:y=
,
由
得:
,
,
即P(1+
,
)或(1-
,
).
(3)设Q(m,0),且-1≤m≤3,
作EH⊥x轴于H,
∵QE∥AC,
∴△BEQ∽△BCA,
∴
=
,
即
=
,EH=
(m+1),
∴S=S△BQC-S△BEQ=
(m+1)×3-
(m+1)×
(m+1)=
(m-1)2+
,
∵-1≤m≤3,
∴当m=1时,△CAE面积最大,此时Q(1,0).
|
解得:
|
故抛物线解析式:y=-x2+2x+3.
(2)存在.
如图所示:
作O′使O′与O关于直线AC对称,连接O'D,O'D交AC于F,过点F且平行于x的直线l与抛物线交于点P,点P为所求.
易求O′(3,3),设直线O′D的解析式:y=k1x+b,
则可得:
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解得:
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故直线O'D的解析式为:y=3x-6
设直线AC解析式:y=k2x+3,
将点A(3,0)代入可得:0=3k2+3,
解得:k2=-1,
故直线AC的解析式为:y=-x+3,
由
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9 |
4 |
3 |
4 |
∴直线l:y=
3 |
4 |
由
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|
即P(1+
| ||
2 |
3 |
4 |
| ||
2 |
3 |
4 |
(3)设Q(m,0),且-1≤m≤3,
作EH⊥x轴于H,
∵QE∥AC,
∴△BEQ∽△BCA,
∴
EH |
OC |
BO |
BA |
即
mEH |
3 |
m+1 |
4 |
3 |
4 |
∴S=S△BQC-S△BEQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
8 |
3 |
2 |
∵-1≤m≤3,
∴当m=1时,△CAE面积最大,此时Q(1,0).
点评:本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及配方法求二次函数最值,解答综合性题目,关键还是基础知识的掌握,注意数形结合思想的运用.
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