题目内容
【题目】如图,四边形ABCD是一个正方形.
⑴请你在平面内找到一个点O,并连接OA、OB、OC、OD使得到△OAB、△BOC、△COD、△OAD都是等腰三角形.
⑵这样的点,你能找到多少个?
⑶试写出你找到的等腰三角形的顶角的度数.
【答案】(1)见解析;(2)9;(3)30°,60°,90°,150°
【解析】试题分析:(1)连接BC,AD交于一点,则根据正方形的对角线相等的性质,OA=OB=OC=OD且AC⊥BD,可以得△OAB≌△0BC≌△OCD≌△OAD;
(2)分情况讨论即可;
(3)该等腰三角形的顶角为∠AOB=90°
试题解析: (1)连接BC,AD,BC、AD交于O点,
则OA=OB=OC=OD,
且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA,
∴△OAB≌△0BC≌△OCD≌△OAD,
故对角线交点O即为所求O点;
(2) 5个,分两种情况讨论:
第一种:等腰三角形一正方形的四条边为底边.因为等腰三角形的顶点必在底边的垂直平分线上,而AB、CD的垂直平分线和AD、BC的垂直平分线只有一个交点,即中点,所以O为中点;
第二种:等腰三角形以正方形的四条边为腰,如图所示,
AD=OD,BC=DO,AO=BO,同理,这样的点有4个;
(3)第一种情况时,所有顶角度数都为90°,
第二种情况时,如图所示:△DOC为等边三角形,顶角为60°,所以相邻的两个顶角∠ADO=∠BCO=30°,所以第四个等边三角形顶角∠AOB=360°-60°-150°=150°.

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