Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠ABC+2∠BCD＝180°，分别连接AC、BD，且∠BCD＝2∠ADB，若AD＝3，BC＝5，则AC的长度为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

延长CD，交BA的延长线于点E，分别过B，A作DE的垂线，垂足分别为F，H，推出BC＝BE＝5，设∠ADB＝α，则∠BCD＝∠E＝2α，推出△EDB为等腰三角形，则DE＝BE＝5，△ADE为“345”直角三角形，通过∠E的正弦函数可分别把AH，BF的长求出来，再利用勾股定理把EH，EF的长度求出来，推出AH的长，在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出AC的长．

解：如图，延长CD，交BA的延长线于点E，分别过B，A作DE的垂线，垂足分别为F，H，

∵∠ABC+2∠BCD＝180°，∠ABC+∠BCD+∠E＝180°，

∴∠BCD＝∠E，

∴BC＝BE＝5，

设∠ADB＝α，则∠BCD＝∠E＝2α，

在Rt△BAD中，

∠ABD＝90°﹣α，

∴在△BDE中，

∠BDE＝180°﹣∠ABD﹣∠E

＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α

＝90°﹣α，

∴∠ABD＝∠BDE，

∴EB＝ED＝5，

∴在Rt△EDA中，

AE＝

∵sin∠E＝，

∴AH＝，BF＝3，

在Rt△BEF中，

EF＝

∴CF＝EF＝4，EC＝8，

在Rt△EHA中，

EH＝

∴CH＝EC﹣EH＝，

在Rt△ACH中，

AC＝

故答案为：．