题目内容
【题目】如图,在等腰三角形中,是上一动点,点在的延长线上,且平分,交于点.
(1)如图①,连接,求证: ;
(2)如图②,当时,求证: ;
(3)如图③,当时,若平分,求证: .
【答案】见解析
【解析】
(1)证△EAF≌△CAF,推出EF=CF,∠E=∠ACF,根据等腰三角形性质推出∠E=∠ABF,即可得出答案;
(2)在FB上截取BM=CF,连接AM,证△ABM≌△ACF,推出EF=FC=BM,AF=AM,推出△AMF是等边三角形,推出MF=AF,即可得出答案;
(3)连接CF,延长BA、CF交N,证△BFC≌△BFN,推出CN=2CF=2EF,证△BAD≌△CAN,推出BD=CN,即可得出答案.
(1)∵AF平分∠CAE,
∴∠EAF=∠CAF,
∵AB=AC,AB=AE,
∴AE=AC,
在△ACF和△AEF中,
,
∴△ACF≌△AEF(SAS),
∴∠E=∠ACF,
∵AB=AE,
∴∠E=∠ABE,
∴∠ABE=∠ACF.
(2)连接CF,
∵△ACF≌△AEF,
∴EF=CF,∠E=∠ACF=∠ABM,
在FB上截取BM=CF,连接AM,
在△ABM和△ACF中,
,
∴△ABM≌△ACF(SAS),
∴AM=AF,∠BAM=∠CAF,
∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°,
∵AM=AF,
∴△AMF为等边三角形,
∴AF=AM=MF,
∴AF+EF=BM+MF=FB,
即AF+EF=FB;
(3)连接CF,延长BA、CF交N,
∵∠ABC=45°,BD平分∠ABC,AB=AC,
∴∠ABF=∠CBF=22.5°,∠ACB=45°,∠BAC=180°45°45°=90°,
∴∠ACF=∠ABF=22.5°,
∴∠BFC=180°22.5°45°22.5°=90°,
∴∠BFN=∠BFC=90°,
在△BFN和△BFC中,
∴△BFN≌△BFC(ASA),
∴CF=FN,
即CN=2CF=2EF,
∵∠BAC=90°,
∴∠NAC=∠BAD=90°,
在△BAD和△CAN中,,
∴△BAD≌△CAN(ASA),
由(2)得CF=EF,
∴BD=CN=2CF=2EF.