题目内容

【题目】【数学概念】

若四边形ABCD的四条边满足ABCDADBC,则称四边形ABCD是和谐四边形.

【特例辨别】

(1)下列四边形:①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形.其中一定是和谐四边形的是________

【概念判定】

(2)如图①,过⊙O外一点P引圆的两条切线PSPT,切点分别为AC,过点P 作一条射线PM,分别交⊙O于点BD,连接ABBCCDDA.求证:四边形ABCD是和谐四边形.

【知识应用】

(3)如图②,CD是⊙O的直径,和谐四边形ABCD内接于⊙O,且BCAD.请直接写出ABCD的关系.

【答案】③④

【解析】分析:(1)由于菱形和正方形的四条边相等,因此对边的乘积相等,所以菱形和正方形是和谐四边形;

(2)连接CO并延长,交⊙O于点E,连接BE.通过证明△PBC∽△PCD,得.同理,.由PAPC为⊙O的切线,得PAPC,故,所以ABCDADBC,所以四边形ABCD是和谐四边形.

(3)ABCDCD3AB

详解:(1)③④.

(2)证明:连接CO并延长,交⊙O于点E,连接BE

PT是⊙O的切线,切点为C

∴∠PCE90°

∴∠PCBECB90°

CE是⊙O的直径,

∴∠CBE90°

∴∠BECECB90°

∴∠BECPCB

又∵∠BECBDC,∴∠PCBBDC

又∵∠BPCCPD,∴△PBC∽△PCD

同理,

PAPC为⊙O的切线,

PAPC

ABCDADBC

∴四边形ABCD是和谐四边形.

(3)ABCDCD3AB

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