题目内容
【题目】【数学概念】
若四边形ABCD的四条边满足ABCDADBC,则称四边形ABCD是和谐四边形.
【特例辨别】
(1)下列四边形:①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形.其中一定是和谐四边形的是________.
【概念判定】
(2)如图①,过⊙O外一点P引圆的两条切线PS、PT,切点分别为A、C,过点P 作一条射线PM,分别交⊙O于点B、D,连接AB、BC、CD、DA.求证:四边形ABCD是和谐四边形.
【知识应用】
(3)如图②,CD是⊙O的直径,和谐四边形ABCD内接于⊙O,且BCAD.请直接写出AB与CD的关系.
【答案】③④
【解析】分析:(1)由于菱形和正方形的四条边相等,因此对边的乘积相等,所以菱形和正方形是和谐四边形;
(2)连接CO并延长,交⊙O于点E,连接BE.通过证明△PBC∽△PCD,得.同理,.由PA、PC为⊙O的切线,得PAPC,故,所以ABCDADBC,所以四边形ABCD是和谐四边形.
(3)AB∥CD ,CD3AB.
详解:(1)③④.
(2)证明:连接CO并延长,交⊙O于点E,连接BE.
∵PT是⊙O的切线,切点为C,
∴∠PCE90°.
∴∠PCB∠ECB90°.
∵CE是⊙O的直径,
∴∠CBE90°,
∴∠BEC∠ECB90°,
∴∠BEC∠PCB.
又∵∠BEC∠BDC,∴∠PCB∠BDC.
又∵∠BPC∠CPD,∴△PBC∽△PCD,
∴.
同理,.
∵PA、PC为⊙O的切线,
∴PAPC,
∴.
∴ABCDADBC.
∴四边形ABCD是和谐四边形.
(3)AB∥CD ,CD3AB.
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