题目内容

【题目】如图,已知点C(4,0)是正方形AOCB的一个顶点,直线PC交AB于点E,若E是AB的中点.

(1)求点E的坐标;

(2)求直线PC的解析式;

(3)若点P是直线PC在第一象限的一个动点,当点P运动到什么位置时,图中存在与△AOP全等的三角形?请求出P点的坐标,并说明理由.

【答案】(1)点E的坐标为(2,4);(2)直线PC的解析式为y=﹣2x+8;(3)点P坐标为(2,4)或( ).

【解析】试题分析:(1)因为E是AB中点,计算出A和B的坐标即可算出E的坐标;
(2)根据E和C的坐标即可求出直线PC的解析式;
(3)根据全等三角形的判定方法,找出全部的点P即可.

试题解析:(1)∵四边形AOCB是正方形,C(4,0),∴点B(4,4),C(4,0),

∵E是AB的中点,∴点E的坐标为(2,4).

(2)设直线PC的解析式为y=kx+b,将点E(2,4)、C(4,0)代入y=kx+b中,

得: ,解得:

∴直线PC的解析式为y=﹣2x+8.

(3)有两种情况,如图所示.

①当点P与点E重合时,

在△OAE和△CBE中, ∴△OAE≌△CBE(SAS),

此时点P坐标为(2,4);

②当AP等于CP时,

在△AOP和△COP中, ∴△AOP≌△COP(SSS),∴∠AOP=COP=45°

∴直线OP的解析式为y=x.

联立直线OP、PC的解析式得: ,解得:

∴此时点P的坐标为( ).

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