Question

如图，正方形ABCD的两条对角线交于点O．
（1）若H为OC上一点，过A作BH的垂线，垂足为E，AE与BO相交于点G．试探索OH与OG的数量关系，并证明；
（2）若点H在OC的延长线上，过A作BH的垂线，交HB的延长线于点E，直线AE与OB相交于点G．（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）OH=OG．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=B0，B0⊥AC（正方形两条对角线相等，互相垂直平分），
∴∠AOG=∠BOH=90°，（2分）
则∠OAG+∠OGA=90°，又AE⊥BH，
∴∠AEB=90°，则∠OBH+∠BGE=90°，
而∠OGA=∠BGE，
∴∠OAG=∠OBH，（4分）
∴△OAG≌△OBH（ASA），
则OH=OG；（6分）

（2）OH=OG成立．（无此步不扣分）（7分）
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=BO，BO⊥AC，
∴∠AOG=∠BOH=90°（8分）
则∠H+∠HBO=90°，又AE⊥BH，
∴∠GEB=90°，则∠G+∠GBE=90°，
又∠HBO=∠GBE，
∴∠H=∠G（9分）
∴△AOG≌△BOH．（AAS）
则OG=OH．（11分）
分析：（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB与OA相等且垂直，又因为AG垂直于BH，根据直角三角形的两锐角互余得到：∠OAG+∠OGA=90°，∠OBH+∠BGE=90°，再根据等角的余角相等得到∠OAG=∠OBH，从而利用“ASA”证出Rt△BOH≌Rt△AOG，由全等三角形的对应边相等得到OG=OH；
（2）根据正方形的性质得到OB与OA相等且垂直，根据直角三角形的两锐角互余得到：∠H+∠HBO=90°，∠G+∠EBG=90°，再根据等角的余角相等得到∠G=∠H，从而利用“AAS”证出Rt△BOH≌Rt△AOG，由全等三角形的对应边相等得到OG=OH．
点评：本题考查正方形的性质，以及三角形全等的判定与性质，是一道结论探索性问题．解答此类题我们要从变化中探究不变的数学本质，再从不变的数学本质出发，寻求变化的规律，通过观察、试验、归纳、类比等获得数学猜想，并对所作的猜想进行严密的逻辑论证，考查了学生对知识的迁移能力，分析问题、解决问题的能力．