题目内容
【题目】如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,有下列四个结论:①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AB;④△BRP≌△CSP.其中,正确的有__________(填序号即可).
【答案】①②③④
【解析】
根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA,推出∠QPA=∠BAP,根据平行线判定推出QP∥AB即可;根据HL推出△BRP≌△CSP即可.
∵PR⊥AB于点R,PS⊥AC,PR=PS,∴点P在∠A的平分线上,∴①正确;
∵点P在∠A的平分线上,∴∠QAP=∠BAP.
在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2﹣PR2,AS2=AP2﹣PS2.
∵AP=AP,PR=PS,∴AR=AS,∴②正确;
∵AQ=QP,∴∠QAP=∠QPA.
∵∠QAP=∠BAP,∴∠QPA=∠BAP,∴QP∥AB ,∴③正确;
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠CAB=60°,AB=AC.
∵∠QAP=∠BAP,∴BP=CP.
∵PR⊥AB,PS⊥AC,∴∠BRP=∠PSQ=90°.
在Rt△BRP和Rt△CSP中,∵BP=CP,PR=PS,∴△BRP≌△CSP,∴④正确.
故选A.
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