Question

【题目】如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=25，BC=40，动点P从B出发沿BC向C运动，速度为10单位/秒．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为5单位/秒，当一个点到达终点的时候两个点同时停止运动，点P′是点P关于直线AC的对称点，连接P′P和P′Q，设运动时间为t秒．

（1）若当t的值为m时，PP′恰好经过点A，求m的值；

（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（m＜t≤4） ；

（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分角∠P′PC？存在，求相应的t值，不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）m=s；（2）y=78t2﹣504t+768（＜t≤4）；（3）存在，t=2时，PQ平分角∠P′PC .

【解析】

试题（1）由∠C的余弦定义既在Rt△APC，又可在Rt△ACM中列出比例式，二者相等，构建方程，求出m；

（2）由△PCN∽△ACM,可表示出PC=40﹣10t，PN=P′N=24﹣6t,CN=32﹣8t，代入面积公式，即可得y=PP′NQ=78t2﹣504t+768；

（3）利用∠C的正弦有两种表示的比例式，二者相等，可列出方程,求出t.

试题解析：（1）如图1中，作AM⊥BC于M．

∵AB=AC=25，AM⊥BC，

∴BM=MC=20，

在Rt△ABM中，AM= =15，

当PP′恰好经过点A，∵cos∠C= ，

∴，

∴t= ，

∴m= s；

（2）如图2中，设PP′交AC于N．

当 ＜t≤4时，由△PCN∽△ACM，可得PC=40﹣10t，PN=P′N=24﹣6t，CN=32﹣8t，

∵CQ=5t，

∴NQ=CN﹣CQ=32﹣13t，

∴y= PP′NQ= （48﹣12t）（32﹣13t）=78t2﹣504t+768（ ＜t≤4）；

（3）存在．理由如下：

如图3中，作QE⊥BC于E．

∵PQ平分∠CPP′，QE⊥PC，QN⊥PP′，

∴QN=QE，

∵sin∠C=，

∴

∴t=2，

∴t=2时，PQ平分角∠P′PC.