Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．

（1）求证：AD=BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2 ， 若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵GE是AB的垂直平分线，

∴GA=GB，

同理：GD=GC，

在△AGD和△BGC中，

GA=GB，

∠AGD=∠BGC，

GD=GC，

∴△AGD≌△BGC（SAS），

∴AD=BC；

（2）

证明：∵∠AGD=∠BGC，

∴∠AGB=∠DGC，

在△AGB和△DGC中，，

∴△AGB∽△DGC，

∴，

又∵∠AGE=∠DGF，

∴∠AGD=∠EGF，

∴△AGD∽△EGF；

（3）

解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：

则AH⊥BH，

∵△AGD≌△BGC，

∴∠GAD=∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，

∴∠AGB=∠AHB=90°，

∴∠AGE=∠AGB=45°，

∴，

又∵△AGD∽△EGF，

∴．

【解析】（1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明△AGD≌△BGC，得出对应边相等即可；
（2）先证出∠AGB=∠DGC，由，证出△AGB∽△DGC，得出比例式，再证出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；
（3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出，由△AGD∽△EGF，即可得出的值．
此题考查了相似三角形的应用和垂直平分线性质，三角形相似，对应角相等，对应边成比例。