题目内容
【题目】阅读发现:(1)如图①,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=BC=3,BD=BE=1,连结CD,AE.易证:△BCD≌△BAE.(不需要证明)
提出问题:(2)在(1)的条件下,当BD∥AE时,延长CD交AE于点F,如图②,求AF的长.
解决问题:(3)如图③,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠ABC=∠DBE=90°,∠BAC=∠DEB=30°,连结CD,AE.当∠BAE=45°时,点E到AB的距离EF的长为2,求线段CD的长为 .
【答案】(2)AF=2﹣1;
(3).
【解析】
试题分析:(2)由△BCD≌△BAE,得到∠OAF=∠OCB,根据“8字型”证明∠AFO=∠CBO=90°,在RT△BDC中利用勾股定理求出CD,再证明BD=EF即可解决问题.
(3)根据两边成比例夹角相等两三角形相似,可以证明△ABE∽△CBD,得,再求出AE即可解决问题.
试题解析:(2)如图②中,AB与CF交于点O.
由(1)可知:△BCD≌△BAE,
∴∠OAF=∠OCB,CD=AE,∵∠AOF=∠COB,
∴∠AFO=∠CBO=90°,
∴CF⊥AE,∵BD∥AE,
∴BD⊥CF,
在RT△CDB中,∵∠CDB=90°,BC=3,BD=1,
∴CD=AE==2,
∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°,
∴四边形EFDB是矩形,
∴EF=BD=1,
∴AF=AE﹣EF=2﹣1.
(3)在RT△ABC,RT△EBD中,∵∠ABC=∠DBE=90°,∠BAC=∠DEB=30°,
∴AB=BC,BE=BD,
∴,
∵∠ABC=∠EBD=90°,
∴∠ABE=∠DBC,
∴△ABE∽△CBD,
∴,
在RT△AEF中,∵∠AFE=90°,∠EAF=45°,EF=2,
∴AF=EF=2,AE=2,
∴,
∴CD=.
故答案为.