题目内容

【题目】如图,在RtABC中,A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tanBOD=

(1)求O的半径OD;

(2)求证:AE是O的切线;

(3)求图中两部分阴影面积的和.

【答案】(1)OD=3;(2)见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)由AB为圆O的切线,利用切线的性质得到OD垂直于AB,在直角三角形BDO中,利用锐角三角函数定义,根据tanBOD及BD的值,求出OD的值即可;

(2)连接OE,由AE=OD=3,且OD与AE平行,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形,根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行,再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直,即可得证;

(3)阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积,求出即可.

解:(1)AB与圆O相切,

ODAB,

在RtBDO中,BD=2,tanBOD==

OD=3;

(2)连接OE,

AE=OD=3,AEOD,

四边形AEOD为平行四边形,

ADEO,

DAAE,

OEAC,

OE为圆的半径,

AE为圆O的切线;

(3)ODAC,

=,即=

AC=7.5,

EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5,

S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG

=×2×3+×3×4.5﹣

=3+

=

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