题目内容

如图，正方形ABCD中，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（点E不与点A、点D重合），同时，点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（点F不与点D点、点C重合），点E与F点运动速度相同，当点E停止运动时，另一动点F也随之停止运动，设BE和AF相交于点P，连接PC，请探究：
（1）AF和BE有怎样的位置关系？试说明理由；
（2）当点E运动到AD中点位置时，PA：PB是多少？
（3）当点F运动到DC中点位置时，PC和BC有怎样的数量关系？并证明你的结论．

解：（1）AF⊥BE．
∵E在AD边上（不与A、D重合），点F在DC边上（不与D、C重合）．
又点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动，
∴AE=DF
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAE=∠D=90°
∴△BAE≌△ADF（SAS）
∴∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°即∠APB=90°
∴AF⊥BE．

（2）由（1）知当点E运动到AD中点时，点F也运动到DC中点，此时就有AF⊥BE．
∵F是CD的中点，∴DF= $\text{[math]}$ CD，∵AD=CD，∴DF= $\text{[math]}$ AD
∵∠1=∠2，
∴tan∠1=tan∠2
在Rt△ADF中，tan∠2= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴在Rt△APB中，tan∠1= $\text{[math]}$
∴PA：PB的值是1：2．

（3）PC=BC．
证明：延长AF交BC的延长线于点G，
∵∠D=∠DCG=90°，DF=CF，∠AFD=∠GFC，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴CG=AD，
∵BC=AD，∴CG=BC= $\text{[math]}$ BG，
由（1）知AF⊥BE，
∴∠BPG=90°，
∴△BPG为直角三角形
∴PC= $\text{[math]}$ BG，
∵BC= $\text{[math]}$ BG，
∴PC=BC．
分析：（1）根据题意很容易证得△BAE≌△ADF，利用正方形内角为90°，得出AF⊥DE．
（2）要求两条线段的关系，需要把两者放入一直角三角形中，利用三角函数求解．根据题意可知此时AF⊥BE，又有中点的关系，可以得出tan∠2= $\text{[math]}$ ，由∠1=∠2，可以求解．
（3）延长AF交BC的延长线于点G，可以得出△ADF≌△GCF，进而得出CG=AD，通过线段的转换可以得出BC= $\text{[math]}$ BG，根据题意可以得出PC= $\text{[math]}$ BG，即可以得出结论．
点评：①本题考查了正方形的性质，要求有比较高的读图能力．
②本题是探求性试题，做这类题前要求大胆的假设，根据假设再去证明．需要在平时做题中培养这种能力．