题目内容

如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-1）三点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若该抛物线的顶点为D，求直线AD的解析式；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．

解：（1）由题意，知：抛物线与x轴的交点为A（-1，0）、B（3，0），
可设其解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标，得：
-1=a（0+1）（0-3），
解得：a= $\text{[math]}$
故抛物线的解析式：y= $\text{[math]}$ （x+1）（x-3）= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-1．

（2）由（1）知，抛物线的解析式：y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-1= $\text{[math]}$ （x-1）²- $\text{[math]}$ ；
∴D（1，- $\text{[math]}$ ）；
设直线AD的解析式为：y=kx+b，代入A（-1，0）、D（1，- $\text{[math]}$ ），得：
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
故直线AD的解析式：y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．

（3）设点Q的坐标为（0，y），分两种情况讨论：
①线段AB为平行四边形的边，则QP∥x轴，且QP=AB=4，有：
1、将点Q向左平移4个单位，则P₁（-4，y），代入抛物线的解析式，得：
y= $\text{[math]}$ （-4+1）（-4-3）=7，
即：P₁（-4，7）；
2、将点Q向右平移4个单位，则P₂（4，y），代入抛物线的解析式，得：
y= $\text{[math]}$ （4+1）（4-3）= $\text{[math]}$ ，
即：P₂（4， $\text{[math]}$ ）；
②线段AB为平行四边形的对角线，则Q、P关于AB的中点对称，即P₃（2，-y），代入抛物线的解析式，得：
-y= $\text{[math]}$ （2+1）（2-3）=-1，
即：P₃（2，-1）；
综上，满足条件的点P的坐标为（-4，7）、（4， $\text{[math]}$ ）、（2，-1）．
分析：（1）已知抛物线图象上不同的三点坐标，利用待定系数法能求出抛物线的解析式．
（2）将（1）的抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标，点A的坐标已知，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式．
（3）题目给出的四边形四顶点排序没有明确，因此要分两种情况讨论：
①线段AB为平行四边形的边；那么点Q向左或向右平移AB长个单位就能得到点P的坐标，点Q的横坐标是确定的，那么点P的坐标就能确定出来，而点P恰好在抛物线的图象上，代入抛物线的解析式即可求出点P的坐标；
②线段AB为对角线；那么点Q、P关于AB的中点对称（平行四边形是中心对称图形），思路同①，首先确定点P的横坐标，再代入抛物线的解析式中确定其具体的坐标值．
点评：前两个小题主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式的解题方法，这是函数题目中最基础的题目，需要熟练掌握．最后一个小题比较容易漏解，这就要求同学能够将满足条件的平行四边形的几种情况都考虑到（或在图上画出来），此类题型都需要进行分类讨论，也是函数综合题和压轴题中的常考题目．