题目内容
【题目】类似于平面直角坐标系,如图1,在平面内,如果原点重合的两条数轴不垂直,那么我们称这样的坐标系为斜坐标系.若P是斜坐标系xOy中的任意一点,过点P分别作两坐标轴的平行线,与x轴、y轴交于点M、N,如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b,这时点P的坐标为(a,b).
(1)如图2,在斜坐标系xOy中,画出点A(﹣2,3);
(2)如图3,在斜坐标系xOy中,已知点B(5,0)、C(0,4),且P(x,y)是线段CB上的任意一点,则y与x之间的等量关系式为 ;
(3)若(2)中的点P在线段CB的延长线上,其它条件都不变,试判断(2)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)3x+4y=12;(3)仍然成立
【解析】
试题分析:(1)作AM∥y轴,AM与x轴交于点M,AN∥x轴,AN与y轴交于点N,构建菱形AMON,然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求OA的长度;
(2)过点P分别作两坐标轴的平行线,与x轴、y轴交于点M、N,则 PN=x,PM=y;根据平行线截线段成比例分别列出关于x、y的比例式、;再由线段间的和差关系求得PC+BP=BC知;
(3)当点P在线段BC的延长线上时,上述结论仍然成立.理由如下:这时 PN=﹣x,PM=y,证明过程同(2).
(1)作AM∥y轴,AM与x轴交于点M,AN∥x轴,AN与y轴交于点N,构建菱形AMON,然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求OA的长度;
(2)过点P分别作两坐标轴的平行线,与x轴、y轴交于点M、N,则 PN=x,PM=y;根据平行线截线段成比例分别列出关于x、y的比例式、;再由线段间的和差关系求得PC+BP=BC知;
(3)当点P在线段BC的延长线上时,上述结论仍然成立.理由如下:这时 PN=﹣x,PM=y,证明过程同(2).
试题解析:(1)如图1作AM∥y轴,AM与x轴交于点M,AN∥x轴,AN与y轴交于点N,
则四边形AMON为平行四边形,且OM=ON,
∴AMON是菱形,OM=AM
∴OA平分∠MON,
又∵∠xOy=60°,
∴∠MOA=60°,
∴△MOA是等边三角形,
∴OA=OM=2;
(2)过点P分别作两坐标轴的平行线,与x轴、y轴交于点M、N,
则 PN=x,PM=y,
由PN∥OB,得即;
由PM∥OC,得,即;
∴,
即 3x+4y=12;
故答案为:3x+4y=12;
(3)(2)中的结论仍然成立,如图3,当点P在线段BC的延长线上时,上述结论仍然成立.理由如下:这时 PN=﹣x,PM=y,
与(2)类似,,.
又∵.
∴,.