Question

（1）如图，ΔABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，∠ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F. 求证：2∠AED-∠CAD=170°；

（2）若∠ABC=∠ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠AED与∠CAD的数量关系．（用含n的代数式表示）

Answer 1

（1）根据角平分线的性质可设∠ADE=∠BDE=x°，由∠AED=∠ABC+∠BDE，∠ABC=50°可得∠AED= x°+50°①，根据三角形的外角的性质可得∠ADB=∠ACB+∠CAD，即可得到∠CAD=∠ADB-∠ACB，由∠ACB=70°，∠ADB=(2x)°可得∠CAD=(2x)°-70°②，由①×2-②即可证得结论；
（2）2∠AED-∠CAD=（3n）°或2∠AED+∠CAD=540°-（3n）°.

试题分析：（1）根据角平分线的性质可设∠ADE=∠BDE=x°，由∠AED=∠ABC+∠BDE，∠ABC=50°可得∠AED= x°+50°①，根据三角形的外角的性质可得∠ADB=∠ACB+∠CAD，即可得到∠CAD=∠ADB-∠ACB，由∠ACB=70°，∠ADB=(2x)°可得∠CAD=(2x)°-70°②，由①×2-②即可证得结论；
（2）解法同（1）.
解：（1）DE平分∠ADB
∴设∠ADE=∠BDE=x°
∵∠AED=∠ABC+∠BDE，∠ABC=50°
∴∠AED= x°+50°        ①
∵∠ADB=∠ACB+∠CAD
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB
∵∠ACB=70°，∠ADB=(2x)°
∴∠CAD=(2x)°-70°      ②
∴由①×2-②，得：2∠AED-∠CAD=170°；
（2）2∠AED-∠CAD=（3n）°或2∠AED+∠CAD=540°-（3n）°.
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.