题目内容
【题目】如图，四边形ABCD是
的内接四边形，
．
如图，求证：
；
如图，点F是AC的中点，弦
，交BC于点E，交AC于点M，求证：
；
在的条件下，若DG平分
，
，
，求的半径．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【解析】
由
，得到
，从而得到
，即可得到
．
如图2，延长AD到N，使
，连接NC，构造三角形中位线和全等三角形
≌
，由该全等三角形的对应边相等得到：
所以
，即
；
如图3，连接BG，过点A作
，构造等边三角形
、
通过得
，
，
，
作直径AP，连接CP，
，故
，由锐角三角函数的定义求得
，从而得到直径AP的长度，易得半径的长度．
（1）如图1，连接AC，
，
，
；
如图2，延长AD到N，使
，连接NC，
，
，
四边形ABED是平行四边形，
，
，
．
，
≌，
，
，
，
是
的中位线，
，
；
如图3，连接BG，过点A作，
由知
，
四边形ABED是平行四边形，
．
，
，
，
平分
，
，
，
，∠NDC=∠DCE，
，
，
，
∴∠DEC=∠DCE=∠EDC，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠DEC=∠DCE=∠EDC=60°，DE=CE，
∵∠BGE=∠BCD=60°，∠BEG=∠DEC=60°，
∴
是等边三角形，
，
解得，，，
，
，
，
作直径AP，连接CP，
，，
，
，
的半径是．
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