题目内容

【题目】如图,在菱形 ABCD 中,AB=2,∠DAB=60°,点 EAD 边的中点,点 MAB 边上的一个动点(不与点 A 重合), 延长 MECD 的延长线于点 N,连接MDAN

1)求证:四边形 AMDN 是平行四边形.

2)当 AM 的值为何值时,四边形 AMDN 是矩形?请说明理由.

【答案】(1)见解析; (2) AM =1.

【解析】

1)根据菱形的性质可得NDAM,再根据两直线平行,内错角相等可得∠NDE=MAE,∠DNE=AME,根据中点的定义求出DE=AE,然后利用角角边证明NDEMAE全等,根据全等三角形对应边相等得到ND=MA,然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明;
2)根据矩形的性质得到DMAB,再求出∠ADM=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答.

(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
NDAM
∴∠NDE=MAE,∠DNE=AME
∵点EAD中点,
DE=AE
NDEMAE中,

∴△NDE≌△MAE(AAS)
ND=MA
∴四边形AMDN是平行四边形;
(2)AM=1.
理由如下:∵四边形ABCD是菱形,
AD=AB=2
∵平行四边形AMDN是矩形,
DMAB
即∠DMA=90°
∵∠DAB=60°
∴∠ADM=30°
AM=AD=1.

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