Question

如图，在平面直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（30，0），B（24，6），C（8，6）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒3个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，速度为每秒2个单位．当这两点有一点达到自己的终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）当点Q在OC上运动时，试求点Q的坐标；（用t表示）
（2）当点Q在CB上运动时；
①当t为何值时，四边形OPQC为等腰梯形？
②是否存在实数t，使得四边形PABQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出直线OC的方程为y=kx，把C的坐标代入即可求出k的值，确定出直线OC的方程，当Q在OC上运动时，设出Q的坐标，由Q的速度是每秒2个单位，运动时间为t秒，故OQ=2t，根据勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可用t表示出m的值，确定出Q的坐标；
（2）①当Q在CB上运动时，得到CQ=2t-10，从而表示出Q的坐标和P的坐标，根据等腰梯形的性质得到OD=EP，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意t的值；
②假设存在t的值，使得四边形PABQ为平行四边形，从而得到PE=FA=6，列出关于t的方程，求出t的值，而根据Q在CB上运动，P在OA上运动，列出关于t的不等式组，求出不等式的解集得到t的范围，求出t的值不在这个范围中，故假设错误，则不存在t，使得PABQ为平行四边形．

解答：解：（1）设直线OC的方程为y=kx，把C（8，6）代入方程得：k=

3

4

，
所以直线OC的方程为y=

3

4

x，
设Q（m，

3

4

m），∵OQ=2t，
根据勾股定理得m²+（

3

4

m）²=4t²，
∵m＞0，t＞0，∴m=

8

5

t，

3

4

m=

6

5

t，
则Q坐标为（

8

5

t，

6

5

t）；

（2）①当点Q在CB上运动时，CQ=2t-10，从而点Q（2t-2，6），P（3t，0），
当四边形OPQC为等腰梯形时，OD=EP=8，
∴8+2t-10+8=3t，解得t=6（秒），
则当t=6秒时，四边形OPQC为等腰梯形；
②若存在实数t，使得四边形PABQ是平行四边形，
则EP=FA=6，∴3t-（2t-2）=6，解得t=4（秒），
而

8≤2t-2＜24 0≤3t≤30

，解得5≤t≤10，
t=4不属于此范围，所以假设错误，
则不存在实数t，使得四边形PABQ是平行四边形．

点评：此题考查了一次函数的图象与性质，等腰梯形的性质，平行四边形的性质，以及勾股定理，考查了数形结合的思想，是一道运动型的题，要求学生借助图形，找准动点运动的运动轨迹来解决问题．第二问的第二小问利用了反证法进行说明，方法为：先假设存在t使得PABQ为平行四边形，求出此时的t的值不在求出t的范围之中，得出矛盾，故假设错误，则不存在t使得PABQ为平行四边形．