题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知A(-3,0),B(0, ),点D与点A关于y轴对称,C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形.
(1)求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置(保留作图痕迹)
(2)若半径为1的⊙P从点A出发,沿A—D—B—C以每秒4个单位长的速度匀速移动,同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加,运动到点C时运动停止,当运动时间为t秒时
①t为何值时,⊙P与y轴相切?
②在整个运动过程中⊙P与y轴有公共点的时间共有几秒?简述过程.
(3)若线段AB绕点O顺时针旋转90°,线段AB扫过的面积是多少?
【答案】(1)C(6,3), D(3,0) ;(2)① , ,, ;②;(3)
【解析】试题分析:(1)由题可知:AD=AB=6,∠DAB=60°,再根据条件就可求出OB及BC的长,从而得到点C和点D的坐标.以点A为圆心,AB为半径画弧,与x轴交点即为点D;以点D为圆心,AB为半径画弧,以点B为圆心,AD为半径画弧,两弧的交点即为点C.
(2)①分点P在AO、OD、BD、BC上四种情况讨论,然后在直角三角形中运用特殊角的三角函数值建立方程,就可解决问题;
②只需求出三个临界位置(点P分别在AO、OD、BD、BC上,且⊙P与y轴相切)对应的t的值,就可解决问题.
(3)过点O作OH⊥AB,垂足为H,过点O作OH′⊥A′B′,垂足为H′,采用割补法将S阴影转化为S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′就可解决问题.
试题解析:
(1)由题可知:AD=AB=6,∠DAB=60°.
∵∠AOB=90°,∴AO=3,OB=3
∴OD=AD-OA=3.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=6.
∴点C的坐标为(6,3 ),点D的坐标为(3,0).
作法:①以点A为圆心,AB为半径画弧,与x轴交点即为点D;
②以点D为圆心,AB为半径画弧;以点B为圆心,AD为半径画弧,两弧的交点即为点C.
如图1所示.
(2)①当点P在AO上时,如图所示:
设时间为t,则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切,
则AP=4t
∵AP+OP=AO
∴4t+1+0.5t=3,
∴t= ;
当点P在OD上时,如图所示:
设时间为t,则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切,
OP=4t-3,
∴4t-3=1+0.5t,
∴t= ,
当点P在BD上时,作PE OB,如图所示:
设时间为t,则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切,
由PD=4t-6,
∵BD= ,BP=BD-DP,
∴BP=6-(4t-6)=12-4t,
∵cos∠ODB= , ∠ODB=∠EPB
∴cos∠EPB=
∴t=2;
当点P在BC上时,如图所示:
设时间为t,则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切,
PB=4t-12
∴4t-12=1+0.5t
∴t= ;
∴当运动时间为 、 、、 时,⊙P与y轴相切;
②当圆P在AO上与y轴相切至圆P在OD上与y轴相切时,圆与y轴有交点,则时间为: ,当圆P在BD上与y轴相切至圆P在BC上与y轴相切时,圆与y轴有交点,则时间为: ,所以总时间为 ;
(3)若线段AB绕点O顺时针旋转90°,线段AB扫过的图形如图8所示,
过点O作OH⊥AB,垂足为H,过点O作OH′⊥A′B′,垂足为H′,如图所示,
则有OH=OAsin∠HAO=3× ,
同理可得:OH′=,
∵S弓形AR=S扇形OAR-S正△OAR= ,
S扇形OBB′= ,
S扇形OHH′=
S△OHB=S△OH′B′
∴S阴影=S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′
=S弓形AR+S扇形OBB′-S扇形OHH′
=
=
∴线段AB扫过的面积是。