Question

如图，在中，斜边，为的中点，的外接圆与交于点，过作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）计算：的值．

Answer 1

（1）证明：在中，为的中点，

为等边三角形．
点为的中心（内心，外心，垂心三心合一）．
∴连接OA，OB，


又为的切线，

又四边形内接于圆

即
（2）解：由（1）知，为等边三角形．

则
又

（1）连接OA、OB，证明△ABD为等边三角形后根据三心合一的定理求出∠OAC=60°，求出四边形ABDF内接于圆O，利用切线的性质求出AE⊥DE；
（2）由（1）可得△ABD为等边三角形，易证△ADF∽△ACD，可得AD²=AC•AF．