题目内容
【题目】如图，已知ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD＝DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．
（1）若M为AG中点，且DM＝2，求DE的长；
（2）求证：AB＝CF+DM．
【答案】（1）DE＝
；（2）证明见解析．
【解析】
（1）由ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC，易证得∠DMG=∠DGM，求得DG=DM=2，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，求得AG的长，继而求得DE的长；
（2）此题有多种解法，通过构造不同的直角三角形，找到相应的全等三角形，在根据对应边和对应角相等，即可推出结论．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DEA，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥AD，
∵M为AG中点，
∴AG＝2DM＝4，
∵DN⊥CD，
∴∠ADM+∠MDG＝∠MDG+∠EDG，
∴∠ADM＝∠EDG，
∴∠DAE+∠ADM＝∠DEA+∠EDG，
即∠DMG＝∠DGM，
∴DG＝DM＝2，
在Rt△ADG中，DE＝AD＝
＝；
（2）证法一：过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，
在△ADH和△FDC中，
，
∴△DAH≌△DFC（ASA），
∴AH＝FC，DH＝DC，
∵DF⊥AD，
∴AH∥DF，
∴∠HAM＝∠DGM，
∵∠AMH＝∠DMG，∠DMG＝∠DGM，
∴∠HAM＝∠HMA，
∴AH＝MH，
∴MH＝CF，
∴AB＝CD＝DH＝MH+DM＝CF+DM．
证法二：延长MD到点P，使DP＝CF，连接PE
由（1）知AD＝DE，
又AD＝DF，
∴DF＝DE，
∠DFC＝∠EDP＝90°
∴Rt△DCF≌Rt△EPD，
∴DC＝EP，∠CDF＝∠PED
∴PE∥DF，
∴∠PEA＝∠DGA，
由（1）得∠DGA＝∠DME，
∴∠PEA＝∠DME
∴PM＝PE，
而PM＝DM+DP＝DM+CF，PE＝CD＝AB，
∴AB＝DM+FC．
证法三：过点A作AH⊥CB于点H，
易证△ABH≌△DCF，
从而证得四边形AHFD为正方形．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°，
得△AHP，∠AHP＝∠AHB＝90°
∴P、H、B三点共线
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，而∠2＝∠HAP，
∴∠HAB+∠1＝∠HAB+∠HAP，即∠HAG＝∠PAB
∵AH∥DF，
∴∠HAG＝∠DGA
而∠DGA＝∠APB
∴∠PAB＝∠APB
∴AB＝PB
∵PB＝PH+HB＝DG+FC
∴AB＝DM+FC．
证法四：在DC上截取DP＝DM，连接PF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠BAE＝∠DEA，
而∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DEADA＝DE，
又∠ADF＝∠MDE＝90°，
∴∠ADM＝∠EDG，
∴△ADM≌△EDG，
∴DM＝DG，
∴DG＝DP，
又AD＝DF，
∴DF＝DE，而∠PDF＝∠FDP，
∴△PDF≌△GDE，
∴∠DPF＝∠DGE，∠DFP＝∠DEG，
∴∠CPF＝∠DGM，
∵∠DFP+∠CFP＝∠DEG+∠DMG＝90°，
∴∠CFP＝∠DMG，
而∠DMG＝∠DGM，
∴∠CFP＝∠CPFCF＝CP，
而CD＝DP+CP＝DM+CF，AB＝CD，
∴AB＝DM+CF．
