题目内容
【题目】如图,在等边△ABC内有一点D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ABD绕A点逆时针旋转,使AB与AC重合,点D旋转至点E,求∠CDE的余弦值.
【答案】∠CDE的余弦值为.
【解析】
试题分析:先根据等边三角形的性质得AB=AC,∠BAC=60°,再根据旋转的性质得AD=AE=5,∠DAE=∠BNAC=60°,CE=BD=6,于是可判断△ADE为等边三角形,得到DE=AD=5;过E点作EH⊥CD于H,如图,设DH=x,则CH=4﹣x,利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣(4﹣x)2,解得x=,然后根据余弦的定义求解.
解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE,
∴AD=AE=5,∠DAE=∠BNAC=60°,CE=BD=6,
∴△ADE为等边三角形,
∴DE=AD=5,
过E点作EH⊥CD于H,如图,设DH=x,则CH=4﹣x,
在Rt△DHE中,EH2=52﹣x2,
在Rt△CHE中,EH2=62﹣(4﹣x)2,
∴52﹣x2=62﹣(4﹣x)2,解得x=,
∴DH=,
在Rt△EDH中,cos∠HDE===,
即∠CDE的余弦值为.
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