Question

如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴的正半轴相交于点B，与y轴相交于点C（0，-3），且BO=CO．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图象的顶点为M，试判断并证明△BCM是否直角三角形．

Answer 1

分析：（1）由于BO=OC=3，可得出B点的坐标，然后将B，C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）先根据（1）得出的抛物线求出M点的坐标，然后用坐标系中两点的距离公式分别求出BC²，OM²，CM²的值，根据勾股定理即可判断出△BCM是否为直角三角形．

解答：解：（1）∵BO=CO，点B在x轴的正半轴，C（0，-3），
∴B（3，0），
∵点B、C都在抛物线上，
∴

-3=c 0=9+3b+c

．
∴b=-2，c=-3，
∴y=x²-2x-3；

（2）△BCM是直角三角形．
证明：∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4），
∴CM²=1+1=2，BM²=（3-1）²+4²=20，BC²=3²+3²=18，
∴CM²+BC²=BM²
∴△BCM是直角三角形．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及直角三角形的判定等知识点．