Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以

3

cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为ts．
（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

Answer 1

分析：（1）作PH⊥AB于H点，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2AC=20cm，BC=

3

AC=10

3

cm，则BP=5

3

cm，PH=

5 3

2

cm，再计算t=2.5s时，PQ=

5 3

2

（cm），即有PH=PQ，然后根据切线的判定方法得到直线AB与⊙P相切；
（2）设⊙P的半径为R，连结OP，根据三角形中位线定理得到OP=5cm，根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，所以⊙O的半径为10cm，当R-10=5或10-R=5，
时，⊙P与⊙O相切，然后根据速度为

3

cm/s分别计算出运动的时间t．

解答：解：（1）直线AB与⊙P相切．理由如下：
作PH⊥AB于H点，如图，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，
∴AB=2AC=20cm，BC=

3

AC=10

3

cm，
∵P为BC的中点，
∴BP=

1

2

BC=5

3

cm，
∴PH=

1

2

BP=

5 3

2

cm，
当t=2.5s时，PQ=

3

×

5

2

=

5 3

2

（cm），
∴PH=PQ，
∴直线AB与⊙P相切；

（2）设⊙P的半径为R，连结OP，
∵O为AB的中点，P为BC的中点，
∴OP=

1

2

AC=5cm，
∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，
∴AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径为10cm，
∵⊙P与⊙O相切，
∴R-10=5或10-R=5，
∴R=15或R=5，
当R=15，即PQ=15cm，则t=

15

3

=5

3

（s）；
当R=5时，即PQ=5cm，则t=

5

3

=

5 3

3

（s），
∴当t为

5 3

3

s或5

3

s，⊙P与⊙O相切．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的切线的判定定理和圆周角定理；记住圆与圆的关系的判定方法和含30度的直角三角形三边的关系．