题目内容

在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c表示.

(1)如图1,在△ABC中,∠A=2∠B,∠A=60°,求证:a2=b(b+c);
(2)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”.(1)中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对于任意一个倍角△ABC,且∠A=2∠B,关系式a2=b(b+c)是否仍然成立?请证明你的结论;
(3)在(2)中,若∠B=36°,b=1,直接填空:a=______,cos36°=______(若结果是无理数,请用无理数表示).
(4)应用(3)的结论,解答下面问题:如图2,一厂房屋顶人字架是等腰△ABC,其跨度BC=10m,∠B=∠C=36°,中柱AD⊥BC于D,则上弦AB的长是______m.(可能用到的数:数学公式≈2.24,数学公式≈2.45,数学公式≈2.65)

(1)证明:∵∠A=2∠B,∠A=60°
∴∠B=30°,∠C=90°
∴c=2b,a=b
∴a2=3b2=b(b+c).

(2)解:关系式a2=b(b+c)仍然成立.
证明:∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得===2R,
即a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
∴b(b+c)=2RsinB(2RsinB+2RsinC),
=4R2sinB[sinB+sin(180°-3∠B)]
=4R2sinB(sinB+sin3∠B)
=4R2sinB(2sin2BcosB)
=4R2sin2B×sin2B
=4R2sin22B
又∵a2=4R2sin2A=4R2sin22B
∴a2=b(b+c)
(3)如图所示:

∵a2=b(b+c),a=c,b=1,
∴a=
设AD=x,则BD=-x,
则AC2-AD2=BC2-BD2,即1-x2=(2-(-x)2
解得:x=,BD=-
故cos36°==

(4)由题意得,BD=BC=5m,
则AB===5(-1)≈6.2米.
分析:(1)根据已知可求得各角的度数,再根据三角函数求得各边的关系,从而不难得到结论.
(2)根据已知表示各角的度数,再根据正弦定理对式子进行整理,从而得到结论;
(3)画出图形,根据a2=b(b+c),a=c,b=1,可求出a,继而可得出cos36°的值.
(4)先求出BD,再由cos36°的值可得出AB.
点评:本题考查了勾股定理、解直角三角形及正弦定理的内容,综合考察的知识点较多,难度较大,解答本题需要同学们能活学活用.
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