题目内容

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c表示．

（1）如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，∠A=60°，求证：a²=b（b+c）；
（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意一个倍角△ABC，且∠A=2∠B，关系式a²=b（b+c）是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）在（2）中，若∠B=36°，b=1，直接填空：a=，cos36°=（若结果是无理数，请用无理数表示）．
（4）应用（3）的结论，解答下面问题：如图2，一厂房屋顶人字架是等腰△ABC，其跨度BC=10m，∠B=∠C=36°，中柱AD⊥BC于D，则上弦AB的长是__m．（可能用到的数： $数学公式$ ≈2.24， $数学公式$ ≈2.45， $数学公式$ ≈2.65）

（1）证明：∵∠A=2∠B，∠A=60°
∴∠B=30°，∠C=90°
∴c=2b，a= $\text{[math]}$ b
∴a²=3b²=b（b+c）．

（2）解：关系式a²=b（b+c）仍然成立．
证明：∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2R，
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC），
=4R²sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R²sinB（sinB+sin3∠B）
=4R²sinB（2sin2BcosB）
=4R²sin2B×sin2B
=4R²sin²2B
又∵a²=4R²sin²A=4R²sin²2B
∴a²=b（b+c）
（3）如图所示：

∵a²=b（b+c），a=c，b=1，
∴a= $\text{[math]}$ ，
设AD=x，则BD= $\text{[math]}$ -x，
则AC²-AD²=BC²-BD²，即1-x²=（ $\text{[math]}$ ）²-（ $\text{[math]}$ -x）²，
解得：x= $\text{[math]}$ ，BD= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
故cos36°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（4）由题意得，BD= $\text{[math]}$ BC=5m，
则AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5（ $\text{[math]}$ -1）≈6.2米．
分析：（1）根据已知可求得各角的度数，再根据三角函数求得各边的关系，从而不难得到结论．
（2）根据已知表示各角的度数，再根据正弦定理对式子进行整理，从而得到结论；
（3）画出图形，根据a²=b（b+c），a=c，b=1，可求出a，继而可得出cos36°的值．
（4）先求出BD，再由cos36°的值可得出AB．
点评：本题考查了勾股定理、解直角三角形及正弦定理的内容，综合考察的知识点较多，难度较大，解答本题需要同学们能活学活用．