Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），探究：抛物线（m为常数）交x轴于点M、N两点．

（1）当m＝2时．

①求出抛物线的顶点坐标及线段MN的长；

②抛物线上有一点P，使，求出点P的坐标；

（2）对于抛物线（m为常数）．

①线段MN的长是否发生变化，请说明理由．

②若该抛物线与线段AB有公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①顶点坐标：（2，﹣4），MN＝4；②P的坐标为（，4），（，4），（2，﹣4）；（2）①不变；②﹣1≤m≤1或3≤m≤5．

【解析】

试题（1）把m=2代入抛物线解析式则可得抛物线解析式为，

①根据解析式即可得到顶点坐标，令y=0，则可求得M、N 的横坐标，从而可得MN的长；

②根据AB的长以及三角形ABP的面积，求得AB边上的高，即点P的纵坐标的绝对值，然后分情况分别代入解析式即可得；

（2）①令y=0，解关于x的方程，得到点M、N的横坐标，得到MN的长即可得MN的长不变；

②根据①中求得的M、N的横坐标通过讨论即可得.

试题解析：（1）当m＝2时，抛物线解析式为 ，

①y=x2-4x=(x-2)2-4，所以顶点坐标为（2，-4）；

令y=0，则有x2-4x=0，解得：x1=0，x2=4，

4-0=4，所以MN＝4；

②∵AB＝2，S△ABC=4，

∴△ABP底边AB上的高为4，

令y＝4，则有x2-4=4，解得：，

令y＝﹣4，则有x2-4=-4，解得：x=0，

∴P的坐标为（，4），（，4），（0，﹣4）；

（2）①不变，理由如下：

令y＝0，则有=0，解得：，

∴MN＝m＋2－（m－2）＝4，

∴MN的长不变；

②由①可知抛物线与x轴交点的横坐标分别为：m-2，m+2，

该抛物线与线段AB有公共点，A（1，0），B（3，0），

∴或，

解得：﹣1≤m≤1或3≤m≤5.