Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．

（1）求a、c的值．
（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，

∴A（0，c），则OA=c，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴OA=OB=OC=c，

∴ c2c=4，解得c=2，

∴C（2，0），

把C（2，0）代入y=ax2+2得4a+2=0，解得a=﹣

（2）

解：△OEF是等腰三角形．理由如下：如图1，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把A（0，2）、B（﹣2，0）代入得 ，解得 ，

则直线AB的解析式为y=x+2，

设F（t，t+2），

∵抛物线y=﹣ x2+2沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，顶点为F，

∴平移后的抛物线解析式为y=﹣ （x﹣t）2+t+2，

把C（2，0）代入得﹣ （2﹣t）2+t+2=0，解得t=6，

∴平移后的抛物线解析式为y=﹣ （x﹣6）2+8，

∴F（6，8），

∴OF= =10，

令y=0，﹣ （x﹣6）2+8=0，解得x1=2，x2=10，

∴OE=10，

∴OE=OF，

∴△OEF为等腰三角形

（3）

解：存在．点Q的位置分两种情形．

情形一：点Q在射线HF上，

当点P在x轴上方时，如图2，

∵∠EQP=90°，EP=EP，

∴当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，

而HE=10﹣6=4，

∴QH= =2 ，

此时Q点坐标为（6，2 ）；

当点P在x轴下方时，如图3，有PQ=OE=10，过P点作PK⊥HF于点K，则有PK=6，

在Rt△PQK中，QK= = =8，

∵∠PQE=90°，∴∠PQK+HQE=90°，

∵∠PKQ=∠QHE=90°，

∴△PKQ∽△QHE，

∴ ，∴ ，解得QH=3，

∴Q（6，3）．

情形二、点Q在射线AF上，

当PQ=OE=10时，如图4，有QE=PO，

∴四边形POEQ为矩形，∴Q的横坐标为10，

当x=10时，y=x+2=12，∴Q（10，12）．

当QE=OE=10时，如图5，

过Q作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N．

设Q的坐标为为（x，x+2），∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2，

在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，即102=（10﹣x）2+（x+2）2，解得x=4± ，

当x=4+ 时，如图5，y=x+2=6+ ，∴Q（4+ ，6+ ），

当x=4﹣ 时，如图5，y=x+2=6﹣ ，∴Q（4﹣ ，6﹣ ），

综上所述，Q点的坐标为（6，2 ）或（6，3）或（10，12）或（4+ ，6+ ）或（4﹣ ，6﹣ ），使P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等

【解析】（1）先求出A（0，c），则OA=c，再根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC=c，理由三角形面积公式得 c2c=4，解得c=2，接着把C（2，0）代入y=ax2+2可求出a的值；（2）如图1，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+2，设F（t，t+2），利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=﹣ （x﹣t）2+t+2，再把C（2，0）代入得﹣ （2﹣t）2+t+2=0，可解得t=6，则平移后的抛物线解析式为y=﹣ （x﹣6）2+8，所以F（6，8），利用勾股定理计算出OF=10，接着根据抛物线与x轴的交点问题确定E（10，0），则OE=OF=10，于是可判断△OEF为等腰三角形；（3）分类讨论：当点Q在射线HF上，如图2，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，则可根据勾股定理计算出QH=2 ，于是可得Q点坐标为（6，2 ）；当点Q在射线AF上，如图3，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，设Q（m，m+2），利用两点间的距离公式得到（m﹣10）2+（m+2）2=102 ， 解方程求出m的值即可得到Q点坐标．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．