Question

已知抛物线经过A（2，0），设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。
（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；
（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由。

Answer 1

解：（1）由于抛物线经过A（2，0）， 所以， 解得 所以抛物线的解析式为， （*）将（*）配方，得， 所以顶点P的坐标为（4，-2）， 令y=0，得，解得， 所以点B的坐标是（6，0）； （2）在直线上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形， 理由如下：设直线PB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），P（4，-2）分别代入， 得，解得      所以直线PB的解析式为， 又直线OD的解析式为       所以直线PB∥OD， 设设直线OP的解析式为y=mx， 把P（4，-2）代入，得   解得， 如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形， 设直线BD的解析式为，将B（6，0）代入，得0=， 所以， 所以直线BD的解析式为， 解方程组，得 所以D点的坐标为（2，2）；  （3）符合条件的点M存在.验证如下： 过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2，AC=2， 由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4， 所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点， 连接PM，BM， 由于AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP， 可得△AMP≌△AMB， 因此即存在这样的点M，使△AMP≌△AMB。