Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），
C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
（2）设出M点的坐标，利用S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB即可进行解答；
（3）分OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．

解答：解：（1）设此抛物线的函数解析式为：
y=ax²+bx+c（a≠0），
将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：

16a-4b+c=0 c=-4 4a+2b+c=0

解得

a= 1 2 b=1 c=-4

，
所以此函数解析式为：y=

1

2

x2+x-4；

（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为：（m，

1

2

m2 +m-4），
∴S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB
=

1

2

×4×（-

1

2

m²-m+4）+

1

2

×4×（-m）-

1

2

×4×4
=-m²-2m+8-2m-8
=-m²-4m，
=-（m+2）²+4，
∵-4＜m＜0，
当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4．
答：m=-2时S有最大值S=4．

（3）设P（x，

1

2

x²+x-4）．
当OB为边时，根据平行四边形的性质知PB∥OQ，
∴Q的横坐标的绝对值等于P的横坐标的绝对值，
又∵直线的解析式为y=-x，
则Q（x，-x）．
由PQ=OB，得|-x-（

1

2

x²+x-4）|=4，
解得x=0，-4，-2±2

5

．
x=0不合题意，舍去．
如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．
由此可得Q（-4，4）或（-2+2

5

，2-2

5

）或（-2-2

5

，2+2

5

）或（4，-4）．

点评：本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．