Question

二次函数y=

2

3

x²的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₀在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₀在二次函数第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀都为等边三角形，请计算△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀的边长=

 

．

Answer 1

分析：分别过B₁，B₂，B₃作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A₀A₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，则AB₁=

3

2

a，BB₂=

3

2

b，CB₃=

3

2

c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B₁，B₂，B₃的纵坐标，逐步代入抛物线y=

2

3

x²中，求a、b、c的值，得出规律．

解答：解：分别过B₁，B₂，B₃作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设A₀A₁=a，A₁A₂=b，A₂A₃=c，则AB₁=

3

2

a，BB₂=

3

2

b，CB₃=

3

2

c，
在正△A₀B₁A₁中，B₁（

3

2

a，

a

2

），
代入y=

2

3

x²中，得

a

2

=

2

3

•（

3

2

a）²，解得a=1，即A₀A₁=1，
在正△A₁B₂A₂中，B₂（

3

2

b，1+

b

2

），
代入y=

2

3

x²中，得1+

b

2

=

2

3

•（

3

2

b）²，解得b=2，即A₁A₂=2，
在正△A₂B₃A₃中，B₃（

3

2

c，3+

c

2

），
代入y=

2

3

x²中，得3+

c

2

=

2

3

•（

3

2

c）²，解得c=3，即A₂A₃=3，
由此可得△A₂₀₀₉B₂₀₁₀A₂₀₁₀的边长=2010．
故答案为：2010．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．