Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=-

2

3

x2+bx+c的图象经过B、C两点．
（1）直接写出点B、点C坐标；
（2）求该二次函数的解析式；
（3）结合函数的图象探索，直接写出不等式-

2

3

x2+bx+c≥0的解集为

-1≤x≤3

．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标；
（2）由（1）代入解析式，利用待定系数法求函数解析式解答；
（3）令y=0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据y＞0，二次函数图象在x轴的上方写出的x取值范围即可．

解答：解：（1）∵边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，
∴由题意可得：AB=2，BC=2，
故：B（2，2），C（0，2）；

（2）将B、C坐标代入y=-

2

3

x2+bx+c得：

2=- 2 3 ×22+2b+c c=2

，
解得：

b= 4 3 c=2

，
故二次函数的解析式是y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；

（3）当y=0，
则0=-

2

3

x²+

4

3

x+2，
解得：x₁=-1，x₂=3，
则二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0）（3，0），
故不等式-

2

3

x2+bx+c≥0的解集为：-1≤x≤3．
故答案为：-1≤x≤3．

点评：本题考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单．