Question

【题目】如图，点P（t，0）（t＞0）是x轴正半轴上的一点，是以原点为圆心，半径为1的 圆，且A（﹣1，0），B（0，1），点M是 上的一个动点，连结PM，作直角△MPM1 ， 并使得∠MPM1=90°，∠PMM1=60°，我们称点M1为点M的对应点．

（1）设点A和点B的对应点为A1和B1 ， 当t=1时，求A1的坐标；B1的坐标 ．
（2）当P是x轴正半轴上的任意一点时，点M从点A运动至点B，求M1的运动路径长 ．

Answer 1

【答案】
（1）（1，2 ）；（1+ ， ）
（2）
【解析】解：（1）如图1，

当t=1时，则AP=2，A1P⊥AP，
∵∠PAA1=60°，
∴PA1=2 ，
∴A1（1，2 ），
BP=OP= ，∠BPO=45°，
∴∠B1PC=∠PBO=90°﹣∠BPO=45°，PC=B1C，
∵∠B1BP=60°，
∴PB1= ，
∴PC=B1C= ，
∴B1（1+ ， ），
所以答案是；（1，2 ），（1+ ， ）；（2）当M在A点时，PM=1+t，PM1=（1+t） ，点M从点A运动至点B，设∠APB=n°，则PM1也旋转n°，
∴M1的运动路径长= ，
∵ 的长= = = ，
∴M1的运动路径长= ．
所以答案是： ．