Question

如图：正方形ABCO的边长为3，过A（0，3）点作直线AD交x轴于D点，且D点的坐标为（4，0），线段AD上有一动点，以每秒一个单位长度的速度移动．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若动点从A点开始沿AD方向运动2.5秒时到达的位置为点P，求经过B、O、P三点的抛物线的解析式；
（3）若动点从A点开始沿AD方向运动到达的位置为点P₁，过P₁作P₁E⊥x轴，垂足为E，设四边形BCEP₁的面积为S，请问S是否有最大值？若有，请求出P点坐标和S的最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了点A、D的坐标，可用待定系数法求出直线AD的解析式．
（2）本题的关键是求出P点的坐标．可先在直角三角形AOD中，用勾股定理求出AD的长，而后根据P点的速度及运动的时间求出AP的长，进而可求出PD的长，在直角三角形PED中，可根据PD的长和∠D的正弦和余弦值求出P点的坐标，进而可根据B、O、P三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）四边形BCEP₁是个梯形，可设出P₁点的坐标（设P₁的横坐标，根据直线AD的解析式表示出其纵坐标），那么OE就是P₁的横坐标，P₁E就是P₁的纵坐标，根据梯形的面积公式即可得出S与P₁的横坐标的函数关系式，进而可根据函数的性质得出S的最大值以及对应的P₁点的坐标．

解答：解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

3=b 0=4k+b

，
解得

k=- 3 4 b=3

．
解析式为：y=-

3

4

x+3．

（2）因为AP=2.5，AD=5，
所以P（2，1.5），
设过B，O，P的抛物线为y=ax²+bx+c（a≠0），
将B（-3，3），O（0，0），P（2，1.5），
则

3=9a-3b+c 0=c 4a+2b+c=1.5

，
解得

a= 7 20 b= 1 20 c=0

，
解析式为y=

7

20

x²+

1

20

x．

（3）设P（x，y），
则y=-

3

4

x+3
S=

1

2

（y+3）×（3+x）
即S=-

3

8

x²+

15

8

x+9
所以P₁（

5

2

，

9

8

）时，S_最大=

363

32

．

点评：本题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、正方形的性质、解直角三角形、图形面积的求法等知识点．