题目内容

如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，测得港口C在B处的南偏东75°方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠．
（1）试判断此时哪个港口离B处最近，说明理由，并求出最近距离．
（2）若海水以每小时48吨的速度渗入船内，当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在精英家教网B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？
分析：（1）作辅助线连接AC、AD、BC、BD，过B作BP⊥AC于点P，将实际问题转化为几何问题，分别求得BA、BC、BD的长，比较得出最近的港口．
（2）根据题意“（每小时渗入船内的海水总量-每小时排出的海水总量）×船航行的时间≤75”列出不等关系式，然后再解不等式即可求得结果．
解答：解：（1）连接AC、AD、BC、BD，过B作BP⊥AC于点P．精英家教网
由已知得∠BAD=90°，∠BAC=30°，AB=3×25=75（海里），
从而BP=
1
2
×75=37.5（海里）．
∵港口C在B处的南偏东75°方向上，
∴∠CBP=45°．在等腰Rt△CBP中，BC=
2
BP=
75
2
2
（海里），
∴BC＜AB．
∵△BAD是Rt△，
∴BD＞AB．
综上，可得港口C离B点位置最近，为
75
2
2
海里．

（2）设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，
则据题意有
37.5
2
x
(48-8)≤75，
解不等式，得x≥20
2
（海里）．
答：此船应以速度至少不低于每小时20
2
海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．
点评：本题考查了解直角三角形的应用即方向角问题，根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决．
练习册系列答案
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精英家教网如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75°方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．
（2012•澄海区模拟）如图，在某海域内有三个港口P、M、N．港口M在港口P的南偏东60°的方向上，港口N在港口M的正西方向上，P、M两港口相距20海里，P、N两港口相距10
2
海里．求：
（1）港口N在港口P的什么方向上？请说明理由；
（2）M、N两港口的距离（结果保留根号）．
（2012•本溪二模）如图，在某海域内有三个港口A、C、D．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，同时在B处测得港口C在B处的南偏东75°方向上．若此船在B处向最近的港口停靠，应向A、C、D三个港口中的哪个港口停靠？并说明理由．

如图，在某海域内有三个港口P、M、N．港口M在港口P的南偏东60°的方向上，港口N在港口M的正西方向上，P、M两港口相距20海里，P、N两港口相距海里．求：

1.港口N在港口P的什么方向上？请说明理由

2.M、N两港口的距离（结果保留根号）．

 

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