Question

如图，已知A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，分别过点A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1，连接A₁B₂、B₁A₂、B₂A₃、…、A_nB_n+1、B_nA_n+1，依次相交于点P₁、P₂、P₃、…、P_n．△A₁B₁P₁、△A₂B₂P₂、△A_nB_nP_n的面积依次记为S₁、S₂、S₃、…、S_n，则S_n为（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D．

试题分析：∵A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，
∴A₁（1，0），
A₂（2，0），
A₃（3，0），
…
A_n（n，0），
A_n+1（n+1，0），
∵分别过点A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1，作x轴的垂线交直线y=2x于点B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1，
∴B₁的横坐标为：1，纵坐标为：2，
则B₁（1，2），
同理可得：B₂的横坐标为：2，纵坐标为：4，
则B₂（2，4），
B₃（2，6），
…
B_n（n，2n），
B_n+1（n+1，2n+2），
根据题意知：P _n是A_nB_n+1与 B_nA_n+1的交点，
设：直线A_nB_n+1的解析式为：y=k₁x+b₁，
直线B_nA_n+1的解析式为：y=k₂x+b₂，
∵A_n（n，0），A_n+1（n+1，0），B_n（n，2n），B_n+1（n+1，2n+2），
∴直线A_nB_n+1的解析式为：y=（2n+2）x﹣2n²﹣2n，
直线B_nA_n+1的解析式为：y=﹣2n x+2n²+2n，
∴P _n（， ）
∴△A_nB_nP_n的A_nB_n边上的高为：=,
△A_nB_nP_n的面积S_n为:．
故选D．