Question

【题目】在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，AB=3，AC=4，则D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为__________．

Answer 1

【答案】110

【解析】

延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

则四边形OALP是矩形．

∵∠CBF=90°，

∴∠ABC+∠OBF=90°，

又∵直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，

∴∠OBF=∠ACB，

在△OBF和△ACB中，

∴△OBF≌△ACB（AAS），

∴AC=OB，

同理：△ACB≌△PGC，

∴PC=AB，

∴OA=AP，

∴矩形AOLP是正方形，

边长AO=AB+AC=3+4=7，

∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，

∴矩形KLMJ的面积为10×11=110．