题目内容

如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:

①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60度.

恒成立的结论有 _________ .(把你认为正确的序号都填上)

 

【答案】

①②③⑤

【解析】①△ABC和△DCE均是等边三角形,点A,C,E在同一条直线上,

∴AC=BC,EC=DC,∠BCE=∠ACD=120°

∴△ACD≌△ECB

∴AD=BE,故本选项正确;

②∵△ACD≌△ECB

∴∠CBQ=∠CAP,

又∵∠PCQ=∠ACB=60°,CB=AC,

∴△BCQ≌△ACP,

∴CQ=CP,又∠PCQ=60°,

∴△PCQ为等边三角形,

∴∠QPC=60°=∠ACB,

∴PQ∥AE,故本选项正确;

③∵∠ACB=∠DCE=60°,

∴∠BCD=60°,

∴∠ACP=∠BCQ,

∵AC=BC,∠DAC=∠QBC,

∴△ACP≌△BCQ(ASA),

∴CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确;

④已知△ABC、△DCE为正三角形,

故∠DCE=∠BCA=60°⇒∠DCB=60°,

又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA,∠BCA=60°⇒∠DPC>60°,

故DP不等于DE,故本选项错误;

⑤∵△ABC、△DCE为正三角形,

∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,DC=EC,

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,

∴∠ACD=∠BCE,

∴△ACD≌△BCE(SAS),

∴∠CAD=∠CBE,

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB,

∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°,

∴∠AOB=60°,故本选项正确.

综上所述,正确的结论是①②③⑤.

 

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