Question

已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．
求证：（1）PO平分∠BPD；
（2）PA=PC．

Answer 1

分析：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，根据AB=CD可知OE=OF，进而可知PO平分∠BPD；
（2）先根据全等三角形的判定定理得出Rt△POE≌Rt△POF，再由垂径定理可得出AE=CF，再根据PE-AE=PF-CF即可得出结论．

解答：证明：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，
∵AB=CD，
∴OE=OF，
∴PO平分∠BPD；

（2）在Rt△POE与Rt△POF中，
∵OP=OP，OE=OF，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE=PF，
∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足，
∴AE=

1

2

AB，
CF=

1

2

CD，
∴AE=CF，
∴PE-AE=PF-CF，即PA=PC．

点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质及角平分线的判定，涉及面较广，难度适中．